Задачей является нахождение наименьшего целого неотрицательного числа a, при котором выражение является тождественной истиной.
Условие задачи
Для какого наименьшего целого неотрицательного числа a выражение (x + 2y < a) ∨ (y > x) ∨ (x > 30) является тождественной истиной (то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных x и y)?
Разбор решения
Выражение должно быть тождественно истинно, то есть равно 1. Логическое сложение (дизъюнкция) даёт 1, если хотя бы одно из высказываний истинно.
Рассмотрим случай, когда x = 30 и y = 20. Условие y > x ложно, а x > 30 также ложно. В этом случае, для истинности всего выражения необходимо, чтобы x + 2y < a было истинно. Подставив значения, получаем 30 + 2 * 20 = 70 < a.
Рассмотрим случай, когда x = 30 и y = 30. Условие y > x ложно, а x > 30 ложно. Тогда 30 + 2 * 30 = 90 < a.
Перейдём к графическому методу.
Графический метод
Разделим выражение на две части:
- (x + 2y < a)
- (y > x) ∨ (x > 30)
Вторая часть должна быть всегда равна 1. Применим логическое отрицание (инверсию) ко второй части и затем закон де Моргана:
¬((y > x) ∨ (x > 30)) = ¬(y > x) ∧ ¬(x > 30) = (y ≤ x) ∧ (x ≤ 30)
Получаем систему неравенств:
- y ≤ x
- x ≤ 30
Это область на графике в первой четверти координатной плоскости, ограниченная прямыми y = x и x = 30. Наибольшие значения x и y в этой области – x = 30 и y = 30.
Подставим эти значения в первую часть: x + 2y < a → 30 + 2 * 30 = 90 < a.
Следовательно, a должно быть больше 90. Наименьшее целое число, удовлетворяющее этому условию, – 91.
Наименьшее целое неотрицательное число a, при котором выражение является тождественной истиной, равно 91.