Обозначим через d(l, x, m) утверждение: натуральное число n делится без остатка на натуральное число m. Для какого наибольшего натурального числа a формула:
¬d(l, x, 6) → (d(l, x, 6) → ¬d(l, x, 9)) ≡ 1
тождественно истинна (принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной x)?
Решение задачи
Выражение ¬d(l, x, 6) → (d(l, x, 6) → ¬d(l, x, 9)) тождественно истинно. Для упрощения обозначим:
- d(l, x, 6) как A
- d(l, x, 9) как B
Тогда выражение принимает вид: ¬A → (A → ¬B) ≡ 1
Применяем законы логики:
- Раскрываем импликацию: ¬(¬A) ∨ (¬A ∨ ¬B) ≡ 1
- Упрощаем двойное отрицание: A ∨ (¬A ∨ ¬B) ≡ 1
- Используем закон сокращения: A ∨ ¬B ≡ 1
Это означает, что если число x делится на 6 (A=1), или не делится на 9 (B=0), то выражение истинно.
Из полученного выражения A ∨ ¬B ≡ 1, формулируем: если число x делится на 6 и на 9, то оно также делится на a.
Для нахождения наибольшего a находим наименьшее общее кратное (НОК) чисел 6 и 9. НОК(6, 9) = 18.
Ответ
Наибольшее значение a, при котором формула тождественно истинна, равно 18.