Первый номер ЕГЭ по информатике 2020 года традиционно связан с системами счисления. Для успешного решения необходимо уметь переводить числа из одной системы счисления в другую.
Перевод из любой системы счисления в десятичную
Перевод числа из любой системы счисления в десятичную осуществляется следующим образом. Рассмотрим число 35<sub>6</sub> (35 в шестеричной системе счисления). Записываем число и над каждой цифрой указываем разряд, начиная с нуля справа налево:
0 1 3 5
Затем записываем развернутую запись числа:
3 * 6<sup>1</sup> + 5 * 6<sup>0</sup> = 18 + 5 = 23<sub>10</sub>
Таким образом, 35<sub>6</sub> = 23<sub>10</sub>. Этот метод применим к любому числу в любой системе счисления. Нумерация разрядов ведется справа налево, начиная с нуля.
Перевод из десятичной системы счисления в любую другую
Обратный перевод – из десятичной системы в другую – выполняется делением числа на основание системы счисления и записью остатков. Переведем 23<sub>10</sub> в шестеричную систему. Будем делить на 6:
23 ÷ 6 = 3 (остаток 5)
3 ÷ 6 = 0 (остаток 3)
Остатки записываем справа налево: 35<sub>6</sub>. Таким образом, 23<sub>10</sub> = 35<sub>6</sub>.
Разбор задания ЕГЭ
Задано неравенство:
10011011<sub>2</sub> < x < 10011001<sub>2</sub>
Необходимо найти количество натуральных чисел x, удовлетворяющих этому неравенству. Переведем двоичные числа в десятичную систему.
Перевод 10011011<sub>2</sub> в десятичную систему
Нумеруем разряды:
7 6 5 4 3 2 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1
Раскрываем запись:
12<sup>7</sup> + 02<sup>6</sup> + 02<sup>5</sup> + 12<sup>4</sup> + 12<sup>3</sup> + 02<sup>2</sup> + 12<sup>1</sup> + 12<sup>0</sup> = 128 + 16 + 8 + 2 + 1 = 155<sub>10</sub>
Перевод 10011001<sub>2</sub> в десятичную систему
Аналогично:
7 6 5 4 3 2 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1
Раскрываем запись:
12<sup>7</sup> + 02<sup>6</sup> + 02<sup>5</sup> + 12<sup>4</sup> + 12<sup>3</sup> + 02<sup>2</sup> + 02<sup>1</sup> + 12<sup>0</sup> = 128 + 16 + 8 + 1 = 153<sub>10</sub>
Получаем неравенство 155<sub>10</sub> < x < 153<sub>10</sub>, которое не имеет решений, так как 155 > 153. Вероятно, в условии задачи допущена опечатка. Предположим, что в исходном неравенстве было 10011011<sub>2</sub> < x < 10011101<sub>2</sub>. Переведя второе число в десятичную систему, получим 157<sub>10</sub>. Тогда неравенство примет вид 155 < x < 157, решениями которого являются числа 156. Таким образом, существует одно число, удовлетворяющее условию. Однако, без уточнения условия задачи, однозначный ответ дать невозможно.
Ответ на задание зависит от корректности исходных данных. Принимая во внимание вероятную опечатку, количество натуральных чисел, удовлетворяющих условию, может быть равно одному. Необходимо внимательно проверять условие задачи.