Задания 19, 20 и 21 ЕГЭ по информатике 2022 года объединены темой теории игр и проверяют способность анализировать игровые алгоритмы и находить выигрышные стратегии. Эти задания представляют собой разновидность игры с одной кучей камней и двумя игроками — Петя и Ваня, которые ходят по очереди. За один ход игрок может добавить в кучу один камень (+1) или удвоить количество камней (умножить на 2). Игра заканчивается, когда количество камней в куче достигает или превышает 29. Выигрывает игрок, сделавший последний ход. Выигрышная стратегия должна включать только безусловно выигрышные ходы.
Задание 19: Невыигрышная позиция для Пети за один ход
Постановка задачи: Укажите начальное количество камней (x), при котором Петя не может выиграть за один ход, но Ваня может выиграть своим первым ходом при любом ходе Пети.
Решение:
Для победы необходимо получить 29 или более камней.
- +1: Чтобы получить 29 камней добавлением одного камня, необходимо 28 камней.
- ×2: Чтобы получить 29 или более камней удвоением, необходимо от 15 до 28 камней (15 × 2 = 30, 28 × 2 = 56).
Чтобы Петя не мог выиграть за один ход, начальное количество камней (x) должно быть меньше 15. Для победы Вани за один ход после хода Пети должно быть от 15 до 28 камней.
При x = 14, Петя может сделать 14 + 1 = 15 или 14 × 2 = 28. В обоих случаях Ваня выигрывает. Ответ: 14.
Задание 20: Выигрышная стратегия Пети за два хода
Постановка задачи: Найдите два значения x, при которых у Пети есть выигрышная стратегия за два хода, при условии, что Петя не может выиграть за один ход.
Решение:
Позиции от 15 до 28 выигрышны для игрока, сделавшего ход. Чтобы Петя выиграл вторым ходом, после его первого хода должно остаться 14 камней. Это возможно при x = 7 (7 × 2 = 14) или x = 13 (13 + 1 = 14). В обоих случаях Ваня получит либо 15, либо 28 камней, после чего Петя гарантированно победит. Ответ: 7 и 13.
Задание 21: Выигрышная стратегия Вани не за один ход
Постановка задачи: Найдите x, при котором у Вани есть выигрышная стратегия (за один или два хода), но нет стратегии гарантированного выигрыша за первый ход.
Решение:
Рассмотрим x = 12. Если Петя добавляет камень (13), Ваня добавляет ещё один (14). Если Петя удваивает (24), Ваня удваивает его (48) и выигрывает. Если Петя делает 12+1=13, Ваня делает 13+1=14, у Пети нет стратегии выигрыша за один ход, и Ваня гарантированно выиграет на втором ходу. Ответ: 12.
Задания 19-21 решаются аналитическим путем, без программирования или таблиц. Успех зависит от понимания выигрышных позиций и логического построения выигрышной стратегии.