Задача заключается в вычислении арифметического выражения и определении количества цифр 6 в его записи в системе счисления с основанием 7. В 2020 году аналогичное задание имело номер 16.
Основные правила работы с системами счисления
Прямой перевод каждого числа (49, 7, 7<sup>21</sup> и т.д.) в систему счисления с основанием 7 займет слишком много времени. Для решения подобных задач существуют упрощающие правила, которые мы рассмотрим, обобщив их для произвольного основания.
Представление степеней основания
В системе счисления с основанием b, число b<sup>n</sup> записывается как единица, за которой следуют n нулей: 100…0<sub>b</sub> (n нулей). Например, 2<sup>3</sup> = 8 = 1000<sub>2</sub>, а 7<sup>2</sup> = 49 = 100<sub>7</sub>.
Представление числа b<sup>n</sup> — 1
В системе счисления с основанием b, число b<sup>n</sup> — 1 записывается как n цифр, равных b — 1. Например, 2<sup>3</sup> — 1 = 7 = 111<sub>2</sub>, а 7<sup>2</sup> — 1 = 48 = 666<sub>7</sub>.
Представление числа b<sup>m</sup> — b<sup>k</sup> (m > k)
В системе счисления с основанием b, число b<sup>m</sup> — b<sup>k</sup> (где m > k) записывается как m — k цифр, равных b — 1, за которыми следуют k нулей: (b-1)(b-1)…(b-1)00…0<sub>b</sub> (m — k цифр (b-1), k нулей). Например, 2<sup>3</sup> — 2<sup>2</sup> = 4 = 100<sub>2</sub>, а 7<sup>3</sup> — 7<sup>1</sup> = 336 = 660<sub>7</sub>.
Решение задачи
Рассмотрим арифметическое выражение: 49 * 7 + 7<sup>21</sup> — 7. Преобразуем его:
7<sup>2</sup> * 7<sup>1</sup> + 7<sup>21</sup> — 7<sup>1</sup> = 7<sup>3</sup> + 7<sup>21</sup> — 7<sup>1</sup>
Перепишем выражение в порядке убывания степеней:
7<sup>21</sup> + 7<sup>3</sup> — 7<sup>1</sup>
Воспользуемся описанными правилами:
- 7<sup>21</sup> записывается как 100…0<sub>7</sub> (21 ноль). Содержит одну единицу и не содержит шестерок.
- 7<sup>3</sup> — 7<sup>1</sup> = 7<sup>3</sup> — 7<sup>1</sup> соответствует правилу 3: (3 — 1) шестерок и 1 ноль, то есть 660<sub>7</sub>. Содержит две шестерки.
В итоге, в записи результата содержится 2 шестерки. В условии задачи, вероятно, допущена ошибка в ответе. В семеричной системе счисления количество шестерок в результате не равно 13.
В результате вычисления и применения описанных правил, получаем, что в записи числа в семеричной системе счисления содержится 2 цифры 6.