Задание 19: Минимальное значение переменной s
Условие: Два игрока, Петя (П) и Ваня (В), играют в игру. Перед ними две кучи камней. За один ход игрок может добавить в одну из куч один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Игра заканчивается, когда суммарное количество камней становится не менее 77. Выигрывает игрок, сделавший последний ход.
В начале игры в первой куче 7 камней, во второй – s камней (s ≤ 69). Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. Необходимо найти минимальное значение s.
Решение:
Для победы Вани за один ход после хода Пети, сумма камней после хода Пети должна быть меньше 77, а после хода Вани – больше или равна 77. Эффективнее всего увеличивать количество камней в два раза. Так как Петя сделал неудачный ход, Ваня должен увеличить количество камней во второй куче в два раза. Получаем неравенство:
7 + 2*s ≥ 77
Решая неравенство, находим:
2*s ≥ 70
s ≥ 35
Минимальное целое значение s, удовлетворяющее неравенству, равно 35. Однако, учитывая условие задачи, где Ваня выиграл после неудачного хода Пети, необходимо рассмотреть вариант увеличения камней во второй куче в два раза. В этом случае, минимальное значение s будет равно 18.
Задание 20: Выигрышная стратегия Пети
Условие: Найдите два значения s, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, удовлетворяющая двум условиям: Петя не может выиграть за один ход, но может выиграть за второй ход независимо от хода Вани.
Решение:
Необходимо найти такие значения s, чтобы после хода Пети сумма камней была меньше или равна 76, а после хода Вани и последующего хода Пети – больше или равна 77.
Проверим значения s = 35 и s = 34:
- При s = 35: Петя может добавить один камень в первую кучу (8 + 35). Ваня может удвоить количество камней во второй куче (7 + 70 = 77), выиграв за один ход. Значение s = 35 не подходит.
- При s = 34: Петя добавляет один камень в первую кучу (8 + 34). Ваня может сделать несколько ходов, но ни один из них не приведёт к победе за один ход. Петя, удваивая количество камней во второй куче, гарантированно выигрывает на своём втором ходу.
Аналогично проверяются значения s = 33 и s = 32. s = 33 и s = 32 не подходят, так как Ваня может выиграть за один ход.
Таким образом, подходящими значениями s являются 31 и 34.
Задание 21: Минимальное значение s для выигрышной стратегии Вани
Условие: Найдите минимальное значение s, при котором у Вани есть выигрышная стратегия (на первом или втором ходу), а у Пети нет стратегии для гарантированной победы на первом ходу.
Решение:
Необходимо найти такое значение s, чтобы Ваня мог выиграть независимо от хода Пети, на первом или втором ходу.
Проверив значения s от 35 до 30, выясняется, что при s = 30 Ваня имеет выигрышную стратегию. При любом ходе Пети, Ваня может либо выиграть на первом ходу, либо гарантированно выиграть на втором ходу, удваивая количество камней во второй куче.
Таким образом, минимальное значение s равно 30.
Разбор заданий 19-21 демонстрирует применение теории игр для решения задач на ЕГЭ по информатике. Понимание стратегий и анализ возможных ходов игроков являются ключом к успешному решению подобных задач. Систематический подход и внимательное рассмотрение всех вариантов ходов позволяют найти правильные ответы.