Задание повышенного уровня сложности, на выполнение которого отводится 3 минуты согласно спецификации. Задание проверяет знание основных понятий и законов математической логики.
Условие задачи
На числовой прямой даны два отрезка. Необходимо указать наименьшую возможную длину отрезка A, для которого логическое выражение (приведенное ниже) истинно (принимает значение 1) при любом значении переменной X.
Логическое выражение и его преобразование
Исходное логическое выражение:
(X ∈ P) → ((X ∈ Q) ∧ ¬A) → ¬P
Упростим, отбросив обозначения принадлежности к отрезкам (X ∈ …):
P → (Q ∧ ¬A) → ¬P
Применим закон импликации: a → b ≡ ¬a ∨ b:
¬P ∨ (Q ∧ ¬A) → ¬P
Снова применим закон импликации:
¬(¬P ∨ (Q ∧ ¬A)) ∨ ¬P
Закон де Моргана: ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b:
(P ∧ ¬(Q ∧ ¬A)) ∨ ¬P
Закон де Моргана: ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b:
(P ∧ (¬Q ∨ A)) ∨ ¬P
Решение задачи
Даны отрезки:
- P: от 15 до 40
- Q: от 21 до 63
Тогда:
- ¬P: от −∞ до 15 и от 40 до +∞
- ¬Q: от −∞ до 21 и от 63 до +∞
Для истинности выражения при любом X, отрезок A должен перекрывать область, где истинны ¬P и ¬Q одновременно. На числовой прямой это участок между 40 и 63.
Определение длины отрезка A
Длина отрезка A: 63 — 40 = 23
Наименьшая возможная длина отрезка A, при которой логическое выражение истинно для любого X, составляет 23.